Paradoja de Russell
Los conjuntos parecen ser de dos tipos: los que se contienen a sí mismos como miembros y los que no. Un ejemplo de los primeros sería el conjunto de las cosas pensables, pues a su vez es una cosa pensable. Un ejemplo de los segundos sería el conjunto de los matemáticos, pues el conjunto en sí no es un matemático y, por tanto, no pertenece al conjunto como miembro.
Consideremos ahora el conjunto todos los conjuntos que no se contiene a sí mismos como miembro. Llamémosle T. ¿está T contenido en sí mismo como miembro? Si lo está, por definición no se contiene a sí mismo, luego no lo está. Pero si no lo está, por definición, debe estar.
Protágoras: Tanto si gano como si pierdo este pleito, Evatlo siempre tendrá obligación de pagarme. Si yo gano la demanda, por definición tendrá que pagarme pues esta es la cuestión que se ventila en este pleito. Y si la pierdo, también tendrá que pagarme porque significará que ha ganado su primer pleito; es decir se habrá cumplido la condición de nuestro acuerdo.
¿Quién creéis que tenía razón?
Juan Carlos manda esta paradoja (24-8-2003) y dice: "La paradoja la recoge Raymond Smullyan. He añadido algunos datos que aparecen en el libro Sofistas, Testimonios y Fragmentos de la Editorial Gredos".
El origen de la paradoja reside en el hecho de que tanto Protágoras como su alumno primero aceptan la autoridad del tribunal pero después, si el veredicto no les favorece, deciden no someterse. Dicho de otra manera: más que una paradoja este es un caso de mala fe por parte de maestro y alumno. La finalidad del pleito es resolver el conflicto entre las partes. Pero deja de tener sentido si dichas partes condicionan su acatamiento al resultado.
Conclusión: Si no van a jucicio, pues no hay paradoja. Si van a jucicio, tendrán que acatar lo que decida el tribunal y listo
Paradoja del barbero
Pregunta: ¿quién afeitará al barbero? Si no se afeita a sí mismo será una de las personas de la ciudad que no se afeitan a sí mismas, con lo cual debería de afeitarse, siendo por tanto una de las personas que se afeitan a sí mismas, no debiendo por tanto afeitarse.
Propuesta por Bertrand Russell, dice:
El único barbero de la ciudad dice que afeitará a todos aquellos que no se afeiten a sí mismos.
Paradoja de la tarjeta
El matemático P.E.B. Jourdain, en 1913, propuso la siguiente paradoja: en uno de los lados de una tarjeta se podía leer:
"La oración del otro lado de esta tarjeta es VERDADERA."
En la otra cara estaba escrito:
"La oración del otro lado de esta tarjeta es FALSA."
Clases de personas
Hay tres clases de personas:
las que saben contar y las que no.
Hay dos grupos de personas en el mundo;
aquellos que creen que el mundo puede ser
dividido en dos grupos de personas,
y aquellos que no lo creen.
Hay dos grupos de personas en el mundo:
Aquellos que pueden ser categorismos en uno de dos
grupos de personas, y aquellos que no.
Notas:
1. Lo anterior lo he copiado de la muy divertida página web: profession jokes. Al leer estas paradojas he recordado una tira de Mafalda, del genial Quino.
2. Carlos Quintero me hizo ver que en el principio eran tres las clases de personas, y no dos.
3. Juan Carlos Suñén observó con razón que la segunda de las estrofas no es una paradoja completa, y sugirió añadir la frase "Yo pertenezco a este último grupo".
Como se explica en la sección de etimologías, lo de paradoja lo podemos entender en dos sentidos: uno más general, como aquello que va en contra de la opinión general y otro, más concreto, como aquello que encierra contradicción. Es este segundo sentido el más querido en matemáticas, aunque el primero no deja de tener su interés. De hecho, las tres afirmaciones acerca de las clases de personas del principio son de este segundo tipo de paradojas, que podríamos describir, para entendernos, como juegos de palabras con aroma contradictorio. Analicémoslas:
"Hay tres clases de personas:
las que saben contar y las que no."
Esto nos dice que el autor de la frase no sabe contar. No hay contradicción, aunque sí sorpresa.
"Hay dos grupos de personas en el mundo;
aquellos que creen que el mundo puede ser
dividido en dos grupos de personas,
y aquellos que no lo creen."
Evidentemente, quien escribe pertenece al primer grupo. No hay contradicción, aunque sí sorpresa, y cierta sensación de caída en una secuencia infinita.
"Hay dos grupos de personas en el mundo:
Aquellos que pueden ser categorizados en uno de dos
grupos de personas, y aquellos que no."
Este es el ejemplo que más se acerca a la paradoja en el sentido de contradicción, aunque tampoco lo es: en realidad es una demostración de que el conjunto de las personas que no pueden ser categorizadas en dos grupos es el conjunto vacío.
Ana Lucero Soto Martínez nos envía otra clasificación: no es paradójica, pero sorprende:
"Hay 10 clases de personas en el mundo,
las que saben binario, y las que no.
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